8.5.1直线与直线平行

(人教A版普通高中教科书数学必修第二册第八章)

一、教学目标

1.理解基本事实4，会用基本事实4证明线线平行；

2.掌握等角定理及其证明方法，能用等角定理求角度。

二、教学重难点

1.基本事实四，等角定理

2.利用基本事实4证明线线平行

三、教学过程

1.情境引入

1.1创设情境，引发思考

【实际情境】在长方体 中，，那么与平行吗？观察你所在的教室，你能找到实例吗？实际生活中还有没有这样的实例呢？

问题1：在平面中平行线具有传递性，这个性质在空间中是否仍然成立？

【预设的答案】仍然成立

【设计意图】本节课的内容就是平面图形中的两个结论推广到空间图形中，平面图形的性质不一定能全部推广立体图形，一般来说，要把平面图形的结论推广到空间，要经过证明.

问题2：在平面内，一个角的两边分别平行于另一个角的两边，则两个角相等或互补，在空间中，这一结论是否还成立呢？

【活动预设】引导学生从已知到未知，由平面上的问题思考空间中的问题。

1.2探究典例，形成概念

【平行直线】基本事实4   平行于同一条直线的两条直线相互平行。

可以用符号语言表示为，若，则

基本事实4表述的性质通常称为空间中平行线的传递性。

【设计意图】创设数学情境，生活中的实例，让学生体会到平行关系在空间中也具有传递性，从而很自然的得出基本事实4。.

【等角定理】当空间中的两个角的对应边分别平行时，两个角有如图所示的两种位置关系

对于图（1）可以构造两个三角形，通过三角形全等来证明

D:\我的文件\Documents\WXWork\1688851796998517\Cache\Image\2020-02\新文档 2020-02-13 12.12.39.jpg教师讲授：如下图，分别在和的两边上截取和，使得，连接

且

四边形是平行四边形，

且

同理可证且

四边形是平行四边形

【设计意图】证明空间中的等角定理，培养学生数学思维的严谨性.

【等角定理】空间中如果两个角的两边分别对应平行，则这两个角相等或互补

特别说明：若两个角的两边分别平行且方向相同，则两个角相等；如果两边分别平行，且一边方向相同，另一边方向相反，则这两个角互补。

1.3具体感知，理性分析

例1、已知是四个顶点不在同一个平面内的空间四边形，分别是的中点，连接，求证四边形是一个平行四边形。

思考：在例1中，如果再加上，那么四边形是什么图形？

【设计意图】

基本事实4的一个简单应用，考察学生的空间想象能力和空间中平行线传递性的理解.

练习  如图，四边形ABEF和四边形ABCD都是直角梯形，且，且，分别为的中点。

（1）    证明：四边形BCHG是平行四边形。

（2）    C，D，F，E四点是否共面？为什么？

 

2.初步应用，理解概念

1 下列结论中正确的是（   ）

①    在空间中，若两条直线不平行，则它们一定相交；②平行于同一条直线的两条直线平行；③一条直线和两条平行直线中的一条相交，那么它和另一条也相交；④空间中有四条直线，若，且，那么。

A．①②③          B．②④       C．③④       D．②③

【预设的答案】B

【设计意图】通过概念辨析，进一步理解空间中直线的位置关系

2 如图，在三棱锥中，分别是线段的中点，则下列说法正确的是（   ）

【预设的答案】C

【设计意图】

（1）进一步加深对基本事实4的理解；

（2）会判断平面外一点和平面内一点的连线，与平面内不经过该点的直线是异面直线。

3．已知，，则（   ）

【预设的答案】B

【设计意图】在解题中加深对等角定理的理解，形成解题的基本思路.

4．如图所示，在长方体中，与交于点，分别是的中点，则长方体各棱中与平行的有（    ）

A．三条         B．四条        C．五条       D．六条

【预设的答案】B

【设计意图】强调空间中平行线的传递性的应用。.

3.归纳小结，文化渗透

本节课的重点内容：

基本事实4  平行于同一条直线的两条直线相互平行。

可以用符号语言表示为，若，则

 等角定理  如果空间中的两个角的两边分别平行，则这两个角相等或互补。

作用：判断两个角相等或互补。

【设计意图】

（1）                梳理本节课的两个重点内容，理解平面图形的有关结论推广到空间图形，必须经过证明；

（2）                求证两直线平行，目前有两种途径：一是应用基本事实4，即找到第三条直线，证明这两条直线都与之平行，要充分用好平面几何知识，如有中点时用好中位线性质等；二是证明在同一平面内，这两条直线无公共点．

（3）                求证角相等：一是用等角定理；二是用三角形全等或相似．

（4）                证明线线平行的常用方法：(1)利用三角形、梯形中位线的性质．(2)利用平行四边形的性质．(3)利用平行线分线段成比例定理．(4)利用基本事实4.

（5）进行数学文化渗透，进一步体会数学逻辑的严谨性以及数学在实际生活中的应用 .

四、课外作业

figure1．如图，三棱柱eqId9881c5faa5cb449bb37fa59b41c76e43中，eqId2381423d4cd146cab95f55527681a766，eqId517584fed25c413ba8b7bb33ffa2d5c6，eqIdbedf755e0fdb4d078d6859360706b163分别为eqIdea82c30b37894b1bb742dee61200db07，eqIdfe9cbfb067114ce8857e621d77cb5feb，eqId8f39d706a505485987ccbb3f6177d72d的中点.求证：eqIdc601931cdf1241da8acf8d2abc8e2cd5.

 

 

figure2．长方体eqId588284d93dc5489295f8f224f8e30d13中，eqIdc3bc315778fd47ef9822f0554c98bd79分别为棱eqIdf8a827c4b4af48e3900aecfaa1934301的中点.

（1）求证：eqId3919556e18754c2ea9a2d8a0a6292a34；

（2）求证：eqIdaca4fe4943794b0d8e8a3c7b45982be3.

 

figure

3．已知棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱CD、AD的中点.

求证：（1）四边形eqId51eab75165924344a7ea2d2deba2d465是梯形；

（2）∠DNM＝∠D1A1C1.

 

 

解答：

1． 证明：因为eqId517584fed25c413ba8b7bb33ffa2d5c6，eqIdbedf755e0fdb4d078d6859360706b163分别是eqIdfe9cbfb067114ce8857e621d77cb5feb，eqId8f39d706a505485987ccbb3f6177d72d的中点，所以eqId1a4987530ffa4c72a28aa1e325b455db，

所以四边形eqId2609d26fd28d47f1b1316a3757dbaf25为平行四边形，所以eqId67633e33d5384b8fa44084d8bc3df099.

同理可证eqId8a3760361c9841ae8420341dc1d1a9dd，

figure又eqId5389ea6859df47d78eb07e40bc062c3f与eqIde1d84b54e01a4f909660cb3bddc6eff9方向相同，所以eqIdc601931cdf1241da8acf8d2abc8e2cd5.

2．证明：（1）如图，取eqIdfe9cbfb067114ce8857e621d77cb5feb的中点eqId2381423d4cd146cab95f55527681a766，连接eqIdc345b22b33d947d0b4941cb3fc766ac1.

在矩形eqId9b26d52d6cbc46fda65515d6f10c26e1中，易得eqId596ba5cf3a8947b6bde37a320ff58101，eqIdb7dc78ed632f423d85268e4996788697

因为eqId64d8bcc4abb5445e84b6eece1fee9e6c，eqId7692b3c51c1945cb8e9c821a4c2af362，所以eqIda49ef2782434415b813c6be013efa949，eqIdbfb3db457f5c4ea3906e6338ccb9b203

所以四边形eqId103ce32441d041e99314f367eb8ed3c9为平行四边形，所以eqIdf6ecb52237844420b0e2ce65238b5827.

在矩形eqId50dcbbdb425943e8b5a0e6b8b508d09f中，易得eqId2cd0682899964d0fbc6c20db0bf9b2f4，eqId607e863cc51a4b7d90ec788954b4ca2c.

所以四边形eqId909328a64af74ecf9a7951b5ba942c97为平行四边形，

所以eqId9c950eec44ee4eb8974cfdf081711c6c，所以eqId3919556e18754c2ea9a2d8a0a6292a34.

（2）因为eqId3919556e18754c2ea9a2d8a0a6292a34，eqIdb02c3954912d4431a87ce5d0541f257f，

又eqIdbf873eef2cb54de09f696d643e2db006与eqId16174d8dc424436bac9c4cc73a0c3e10的对应边方向相同，

所以eqIdaca4fe4943794b0d8e8a3c7b45982be3.

figure3． （1）连接eqIdcf2da96900c948a1b3ce7cbfd420c080，

因为M，N分别是棱CD、AD的中点，所以eqId6a08233d9f594beca7f8afd38f1a68d9，eqId2fe5713b0cf04635becd9f94ce10da70，

又因为eqId0f449d528ef742e592de0550bed3c107且eqId9d70cd1530cf45bfa5509e36f81c5e34，所以四边形eqId38df751166484f09b6aeaf66df4e2d17为平行四边形，

所以eqId0febd395995b4ff2a10f358b2a188688，且eqId167c580eddc9414bbbe2dfbf2db6acb1，

所以eqIdc7ee4a4208fe41679f791f55c8cc1acf且eqIdc4b78f92de9f414d9cb3ceb3b4f92d51，

所以四边形eqId51eab75165924344a7ea2d2deba2d465是梯形.

（2）由（1）知eqId9ee2a5f36c17448883e8da9101c1c310，又根据正方体的性质可知，eqIda03a099e74414d9794142629932bd6cb，且eqIdd0a09fed9ab74588b8e68d4a556ea49c与eqIdd20fca89d85740aa94663e148e54aa25的方向相同，

所以根据等角定理可得eqIdbdb5caa43cd64538a89862dacd615699.

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