第五章  三角函数

5.7  三角函数的应用 

本节课选自《普通高中课程标准实验教科书数学必修1》5.7节 《三角函数的应用》,在于加强用三角函数模型刻画周期变化现象的学习.本节教材通过例题,循序渐进地介绍三角函数模型的应用,在素材的选择上注意了广泛性、真实性和新颖性,同时又关注到三角函数性质(特别是周期性)的应用.培养学生综合应用数学和其他学科的知识解决问题的能力.培养学生的建模、分析问题、数形结合、抽象概括等能力.发展学生数学建模、数据分析、数学直观、数学抽象、数学运算、逻辑推理的核心素养.

本节内容是关于三角函数的应用，主要以实例的方式呈现，实例的情景往往与数学有一定距离，学生不太了解，导致学习中出现困难．为此，在教学时，可以通过播放视频简单介绍背景，让学生对相关情境有所了解，然后分析背景，了解其变化规律．将这些问题抽象为数学问题，是学习的第二个难点．第三个学习难点是港口海水深度随时间呈周期性变化问题．在教学中，一方面可以充分利用信息技术工具让学生直观感受函数图象所反映的实际意义，帮助学生理解题意．另一方面，注重求解策略，即先分析思路，搭建框架，整体把握问题，再精进求解细节．

教学重点：分析、整理、利用信息,从实际问题中抽取基本的数学关系来建立三角函数模型,用三角函数模型解决一些具有周期变化规律的实际问题.

教学难点:将某些实际问题抽象为三角函数的模型,并调动相关学科的知识来解决问题.

多媒体  学案

启发诱导、问题驱动、案例分析

新授课

    45分钟

（一）     情景导入

三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型，可以用来研究很多问题，在刻画周期变化规律、预测未来等方面发挥着重要作用．

生活中普遍存在着周期性变化规律的现象，昼夜交替、四季轮回，潮涨潮散、云卷云舒，情绪的起起落落，庭前的花开花谢，一切都逃不过数学的眼睛！这节课我们就来学习如何用数学的眼睛洞察我们身边存在的周期现象.

设计意图：通过开门见山，提出问题，让学生体会由实际问题建立三角函数模型的过程，培养和发展数学建模、数学抽象、直观想象的核心素养.

（二）     新知讲授

例1.筒车是我国古代发明的一种灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用（图1）.如图2，现有一个半径为4米的筒车按逆时针方向每分钟匀速旋转1圈，筒车的轴心O距离水面的高度为2米，若以盛水筒P刚浮出水面在点A处时为初始时刻，设经过t秒后盛水筒P到水面的距离为f(t)（单位：米）（在水面下则f(t)为负数）.筒车上均匀分布着12个盛水筒，假设盛水筒在最高处时把水倾倒到水槽上.

(1)求函数f(t)的表达式；

(2)求第一筒水倾倒的时刻 t和相邻两个盛水筒倾倒的时间差；

(3)若某一稻田灌溉需水量为100立方米，一个盛水筒倾倒到水槽的水约为0.01立方米，求需要多少小时才能完成该稻田的浇灌.（精确到0.1小时）

设计意图：结合筒车问题，建立三角函数的数学模型，体现数学的实际价值，让学生经历数学建模全过程，引导学生学会用数学的眼光看现实世界，用数学的语言描述世界．

利用PPT播放唐朝筒车的视频.

设计意图：通过播放筒车的历史及工作原理视频，让学生对相关知识有所了解，然后分析背景，了解其变化规律，感受古代人民的勤劳智慧及数学的实际价值.

思考1：筒车（点P）与水面的高度与哪些量有关？

预设答案：点到轴的距离，t轴到水面的距离2，+2.

思考2：点P的纵坐标与什么量有关？可用什么知识点来求解？

预设答案：终边OP与t轴非负轴半轴所成的夹角∠POt；三角函数定义：=4sin∠POt.

思考3：OP与t轴正半轴的夹角与什么量有关？怎么表示？

预设答案：筒车旋转的时间t及旋转速度；

思考4:盛水筒距离水面的高度f(t)与时间t的关系是什么？

预设答案：，(t∈[0，+∞))

思考5:筒车倾倒第一桶水时，函数f(t)取什么值？

预设答案：函数f(t)第一次取得最大值，即,得(秒).

思考6:相邻两个盛水筒倾倒的时间差？

预设答案：相邻两个盛水桶倾倒的时间差为 = 5（秒）.

思考7:完成该稻田的浇灌筒车需要浇多少桶水？

预设答案：桶水.

思考8:完成该稻田的浇灌所需要多少小时？

预设答案：所需时间为20+9999×5=50015秒,约为13.9小时.

设计意图：首先提出研究一般匀速圆周运动如何用数学模型刻画的问题，引导从特殊到一般进行提问，渗透了数学源于生活的本质．通过筒车模型引入，体现数学的实际价值，使学生感受发现问题、提出问题的过程，并尝试分析问题和解决问题．发展学生数学建模、逻辑推理，直观想象、数学抽象、数学运算等核心素养.

例2 海水受日月的引力，在一定时候发生涨落的现象叫潮．一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常的情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋．表1是某港口某天的时刻与水深关系的预报．

（1）选用一个函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系．

（2）一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4 m，安全条例规定至少要有1.5 m的安全间隙（船底与海底的距离），该船何时能进入港口？在港口能呆多久？

利用PPT播放潮汐原理的视频.

设计意图：通过播放视频简单介绍潮汐原理，让学生对相关知识有所了解，然后分析背景，了解其变化规律．

思考1：观察表格中的数据，每天水深的变化具有什么规律性？

预设答案：呈周期性变化规律.

思考2：设水深为，时间为，若要探究x与y呈怎样的函数模型，我们需要根据表格做什么？

预设答案：作散点图.

设计意图：通过散点图，可以帮助学生较为直观地分析两个变量之间的关系，然后根据这种关系选择一种合适的函数模型去刻画问题，发展学生数据分析、数学建模、直观想象等学科素养.

思考3：根据表中的数据对应的散点图，你认为可以用哪个类型的函数来拟合这些数据？

预设答案：从散点图的形状可以判断，这个港口的水深y与时间x的关系可以用形如 y=Asin(ωx+φ)+h 的函数来刻画，从数据和图形可以得出：                                            

A=2.5，h=5，T=12.4，φ=0；

由，得ω=．

所以各港口的水深与时间的关系可用函

数y=2.5sinx+5近似描述．

其中x∈[0,24].

设计意图：通过问答形式得到问题的解答，启发学生利用观察图像解决四个参数值．

思考4:(2)中，货船需要的安全水深是多少？

预设答案：货船需要的安全水深为4+1.5=5.5 m．

思考5:从函数的解析式来看，满足怎样的条件时，该船能够进入港口？

预设答案：从函数的解析式来看，满足y≥5.5，即2.5sinx+5≥5.5 ，该船能够进入港口.

思考6:从图象上看，满足怎样的条件时，该船能够进入港口？

从图象上看，函数y=2.5sinx+5的图象在直线y=5.5上方时，该船能够进入港口．

求得交点的横坐标分别为：≈0.3975，≈5.8025，≈12.7975，≈18.2025．

思考7：可以将A，B，C，D点的横坐标作为进出港时间吗？为什么？

预设答案：事实上为了安全，进港时间要比算出的时间推后一些，出港时间要比算出的时间提前一些，这样才能保证货船始终在安全水域．

因此，货船可以在零时30分左右进港，早晨5时45分左右出港；或在下午13时左右进港，下午18时左右出港．每次可以在港口停留5小时左右．

设计意图：让学生感受利用数学模型得到的答案要根据实际情况进行检验和调整.

归纳总结：通过本题的研究，你能概括出建立三角函数模型解决实际问题的基本步骤和需要注意的问题吗？

预设答案：建立三角函数模型解决实际问题的基本步骤：

①搜集数据，做出散点图；

②观察散点图并进行函数拟合，获得具体的函数模型；

③利用这个函数模型解决相应的实际问题。

需要注意：从数学模型中得到的答案还要根据实际情况检验它是否可行．

（三）     巩固练习

自出生之日起，人的体力、情绪、智力等心理、生理状况就呈周期变化.根据心理学家的统计，人体节律分为体力节律、情绪节律和智力节律三种.这些节律的时间周期分别为23天、28天、33天.每个节律周期又分为高潮期、临界日和低潮期三个阶段.以上三个节律周期的半数为临界日，这就是说11.5天、14天、16.5天分别为体力节律、情绪节律和智力节律的临界日.临界日的前半期为高潮期，后半期为低潮期.生日前一天是起始位置（平衡位置），请根据自己的出生日期，绘制自己的体力、情绪和智力曲线，并总结自己在什么时候应当控制情绪，在什么时候应当鼓励自己；在什么时候应当强加锻炼，在什么时候应当保持体力.

解析：根据题意可知变化曲线为y=sinωt.

∵人体节律分为体力节律、情绪节律和智力节律三种，这些节律的时间周期分别为23天、28天、33天，设从出生到当日天数为t.

∴体力节律曲线函数为,

  情绪节律曲线函数为,

  智力节律曲线函数为

根据题意可知，为高潮期，为临界日，为低潮期.

三节律曲线如图所示：

当情绪节律函数值大于0时应当控制情绪，小于0时应当鼓励自己；当体力节律函数值    大于0时适合体育锻炼，小于0时应当保存体力.

设计意图：学生画出三个生物节律曲线，然后计算出从自己的出生日到今天的天数，以此为自变量找到相应区间段的节律曲线图，根据图象分析预测近期会有怎样的体力，情绪，智力方面的表现．让学生在课堂上以自己为对象来运用所学数学知识进行研究，激发探究热情，提高学习数学的兴趣．

高考链接

摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢的往上转，可以从高处俯瞰四周的景色（如图1）.某摩天轮的最高点距离地面的高度为45米，最低点距离地面5米，摩天轮上均匀设置了36个座舱（如图2）.开启后摩天轮按逆时针方向匀速转动，游客在座舱离地面最近时的位置进入座舱，摩天轮转完一周后在相同的位置离开座舱.摩天轮转一周需要10分钟，当游客甲坐上摩天轮的座舱开始计时.设经过t分钟后游客甲距离地面的高度为h米.

(1)试求h(t)的解析式;

(2)求游客甲坐上摩天轮转第一圈

的过程中离地面高度为15米时的

时刻.

设计意图：对接高考，树立高考意识，让学生们逐渐形成自主学习的能力和独立解决问题的能力.

（四）     课堂总结

请你谈一谈研究三角函数应用的过程中的体会：

一、本节课学习的新知识

1.建立函数模型解决实际问题的基本步骤：

   ①搜集数据，分析数据，作出散点图；

   ②观察散点图并进行函数拟合，获得具体的函数模型；

   ③利用这个函数模型解决相应的实际问题.

2.需要注意：从函数模型中得到的答案还要根据实际情况检验它是否可行,同时要注意函数的定义域.

二、本节课提升的核心素养

三、本节课训练的数学思想方法

设计题图：教师让学生畅所欲言，充分表达自己在这节课的收获和体会．引导学生从数学知识、思想方法、核心素养等各个方面全面进行总结．

在回顾本节课所经历的学习过程，总结所学知识和思想方法的基础上谈收获，进一步使学生的学习体验得到升华．

（五）     板书设计

5.7三角函数的应用（第2课时）

数学建模步骤：

①搜集数据，分析数据，作出散点图；

②观察散点图并进行函数拟合，获得具体的函数模型；

③利用这个函数模型解决相应的实际问题.

（六）     教学反思

以问题引导教学，让学生听有所思，思有所获，获有所感。问题串的设计，使学习内容在难度和强度上循序渐进而又螺旋上升，并通过互动逐一达成教学目标，突出重点，突破难点，较好的提高了课堂教学的有效性。发展了学生数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象、数学建模、数据分析学科素养.