1.2空间向量基本定理
一、内容及内容解析
1.内容
空间向量基本定理也成为空间向量分解定理，它与平面向量基本定理类似，区别仅在于基底中多了一个向量，从而分解结果中多了一“项”.证明的思路、步骤也基本相同．空间向量基本定理的推论意在用分解定理确定点的位置，它对于今后用向
量方法解几何问题很有用，也为今后学习空间向量的直角坐标运算作准备．
2.内容解析
（1）内容的本质
空间向量基本定理也成为空间向量分解定理，它与平面向量基本定理类似，区别仅在于基底中多了一个向量，从而分解结果中多了一“项”.证明的思路、步骤也基本相同．空间向量基本定理的推论意在用分解定理确定点的位置，它对于今后用向量方法解几何问题很有用，也为今后学习空间向量的直角坐标运算作准备
（2）蕴含的思想与方法
教学中，要结合具体问题，引导学生类比利用平面向量解决平面几何问题的“三步曲”的思路和方法.
（3）培育的数学核心素养
利用基底表示其他向量，培养逻辑推理的核心素养，通过夹角与垂直的应用，提升数学运算的核心素养。
（4）教学重点
二、目标与目标解析
1.本单元教学目标
空间向量基本定理是平面向量基本定理在空间的推广，都是向量的分解，可以类比学习。
1.了解空间向量基本定理及其意义，培养数学抽象的核心素养；
2.掌握空间向量的正交分解，培养数学抽象的核心素养；
3.掌握在简单问题中运用空间三个不共面的向量作为基底表示其他向量的方法，提升逻辑推理的核心素养。
2.目标解析
达成上述目标的标志是：
三、教学问题诊断分析
1.问题诊断
之前学习过平面向量相关知识，可以采用类比学习法学习空间向量相关知识。
2.教学难点
四、教学支持条件分析
1.技术支持
利用电脑、互联网,可以非常方便快捷地查找到有关史料故事、拓宽视野,感悟数学的文化价值,提高学生的数学文化素养；借助计算器或电脑,可以计算较大数目的数量,获得比较精准的数值；借助实物投影或PPT，展示学生的学习成果，
2.知识储备
空间向量基本定理是平面向量基本定理在空间的推广，都是向量的分解，可以类比学习。
五、课时教学设计
1.2空间向量基本定理
1. 课时教学内容
(1) 空间向量基本定理及其应用
(2) 空间西安理工的线性运算（向量的加法、减法、数乘向量、向量共线定理）
(3) 讲向量几何运算转化为代数运算
2.课时教学目标
(1) 了解空间向量基本定理及其意义，培养数学抽象的核心素养；
(2) 掌握空间向量的正交分解，培养数学抽象的核心素养；
(3) 掌握在简单问题中运用空间三个不共面的向量作为基底表示其他向量的方法，提升逻辑推理的核心素养。
3.教学重点、难点
重点：掌握空间向量基本定理
难点：用空间向量基本定理解决有关问题.
4.教学过程设计
环节一 创设情境，引入课题
问题情境
我们所在的教室即是一个三维立体图,如果以教室的一个墙角为始点,沿着三条墙缝作向量可以得到三个空间向量.这三个空间向量是不共面的,那么如何用这三个向量表示空间中任意的向量呢？
我们知道，平面内的任意一个向量
都可以用两个不共线的向量
，
来表示(平面向量基本定理)．类似地，任意一个空间向量能否用任意三个不共面的向量，，
来表示呢?
师生活动 学生独立思考、作答，教师展示研究路径，板书空间向量及其运算，揭晓课题：下面我们类比平面向量研究空间向量，先从空间向量的概念和表示开始．
［设计意图］主要方法是类比，即类比平面向量的相关概念学习空间向量的相关概念，类比平面向量的运算学习空间向量的运算，类比用平面向量解决平面几何问题的方法利用空间向量解决简单的立体几何问题.教，使学生亲历研究的过程，积累基本活动经验.
环节二 观察分析，感知概念
我们先从空间中三个不共面的向量两两垂直这一特殊情况开始讨论．
问题1：空间中怎样的向量能构成基底？
【提示】空间任意三个“不共面”的向量都可以作为空间向量的一个基底．
如图1.2-1，设
，
，
是空间中三个两两垂直的向量，且表示它们的有向线段有公共起点
．对于任意一个空间向量
，设
为
在，所确定的平面上的投影向量，则
．又向量
，
共线，因此存在唯一的实数
，使得
，从而
而在，所确定的平面上，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对
，使得
．
问题2：基底与基向量的概念有什么不同？
【提示】一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同概念．空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基底.基底选定后,空间的所有向量均可由基底唯一表示;不同基底下,同一向量的表达式也有可能不同.
从而
问题3：空间的基底唯一吗？
【提示】不唯一，只要是三个向量不共面，这三个向量就可以组成空间的一个基底．一个基底是一个向量组,一个基向量是指基底中的某一个向量,二者是相关联的不同概念.由于零向量与任意一个非零向量共线,与任意两个不共线的非零向量共面,所以若三个向量不共面,就说明它们都不是零向量.
因此，如果，，是空间三个两两垂直的向量，那么对任意一个空间向量
，存在唯一的有序实数组
，使得
．
我们称
，
，
分别为向量
在，，上的分向量．
环节三 抽象概括，形成概念
在空间中，如果用任意三个不共面的向量，，代替两两垂直的向量，，，你能得出类似的结论吗?
类似平面向量基本定理，我们有空间向量基本定理．
定理 如果三个向量
，
，
不共面，那么对任意一个空间向量
，存在唯一的有序实数组
，使得
．
请你自己给出空间向量基本定理的证明．
问题4：为什么空间向量基本定理中x，y，z是唯一的？
你能证明唯一性吗?
【提示】平移向量a，b，c，p使它们共起点，如图所示，以p为体对角线，在a，b，c方向上作平行六面体，易知这个平行六面体是唯一的，因此p在a，b，c方向上的分解是唯一的，即x，y，z是唯一的．
由此可知，如果三个向量，，不共面，那么所有空间向量组成的集合就是
．这个集合可看作由向量，
，
生成的，我们把
叫做空间的一个基底(base)，
，，都叫做基向量(base vectors)．空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底．
环节四 辨析理解 深化概念
由空间向量基本定理可知，如果把三个不共面的向量作为空间的一个基底，那么所有空间向量都可以用三个基向量表示出来．进一步地，所有空间向量间的运算都可以转化为基向量间的运算，这为解决问题带来了方便．
1．已知
是空间的一个基底，从，，中选哪一个向量，一定可以与向量
，
构成空间的另一个基底?
1．解：向量
一定可以与
，
构成另一个基底，因为，与
，
共面，只有
不与
，
共面．
2．已知
为空间的四个点，且向量
，
，
不构成空间的一个基底，那么点
是否共面?
解：
，，不构成空间的一个基底，
，，共面，
四点共面．
3．如图，已知平行六面体
，点
是侧面
的中心，且
，
，
．
（1）
是否构成空间的一个基底?
（2）如果构成空间的一个基底，那么用它表示下列向量：
，
，
，
．
解：（1）
，，不共面，
是空间的一个基底．
（2）
，
，
，
．
环节五 概念应用，巩固内化
例1 如图1.2-2，
是四面体
的棱
的中点，点
在线段
上，点
在线段
上，且
，
，用向量，，表示
．
分析：，，是三个不共面的向量，它们构成空间的一个基底
，
可以用基底
表示出来．
解：
．
例2 如图1.2-3，在平行六面体
中，
，
，
，
，
，
，
，
分别为
，
的中点．
求证：
．
分析：要证
，只需证明
．由已知，
可构成空间的一个基底．把
和
分别用基底表示，然后计算
即可．
证明：设
，
，
这三个向量不共面， 构成空间的一个基底，我们用它们表示，，则
，
所以
．
所以
．
［设计意图］例2是利用空间向量基本定理证明平行六面体中两条线段互相垂直的例子.学生已经会用向量的数量积运算判断两直线是否具有垂直关系，教学时要注意引导学生构造适当的基底，并把相关向量用基底表示.
例3 如图1.2-4，正方体
的棱长为1，
分别为
，
，
的中点．
（1）求证：
；
（2）求
与
所成角的余弦值．
分析：（1）要证明
，只需证明
与
共线．设
，则
构成空间的一个单位正交基底，把
和
分别用基向量表示，作相应的运算证明它们共线即可．
（2）要求
与
所成角的余弦值，只需求
所成角的余弦值即可．
（1）证明：设
，则
构成空间的一个单位正交基底．所以
，
．
所以
．所以
．
（2）解：因为
，
，
所以
所以
与
所成角的余弦值为
．
［设计意图］例3是利用空间向量基本定理证明正方体中两条线段互相平行和计算两条线段所成角的余弦值的例子.立体几何中有关两宜线平行的问题一般可以转化为两向量共线的问题，对于问题（D,教学中应注意引导学生利用正方体的结构特征构造正交基底，并用基向量表示相关的向量.对于问题（2）,教学中要注意引导学生用基向量表示向量数量积运算中涉及的向量.
练习（第14页）
1．已知四面体
，
，
．求证：
．
1．证明：如图，
，
，
，
，
．
2．如图，在平行六面体
中，
，
，
，
．求
与
所成角的余弦值．
2．解：设
，
，
．
又
，
．
．
．所以
与
所成角的余弦值为0．
3．如图，已知正方体
，
和
相交于点
，连接
，求证：
．
证明：设
，且
，
，
，
，
，
．
环节六 归纳总结,反思提升
用基底表示向量的三个步骤
(1)定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底．
(2)找目标：用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果．
(3)下结论：利用空间向量的一个基底{a，b，c}可以表示出空间所有向量．表示要彻底、结果中只能含有a，b，c，不能含有其他形式的向量．
环节七 目标检测，作业布置
完成教材：第12页 练习 第1，2，3题
第14页 练习 第1，2，3题
第15 页 习题1.2 第1,2,3,4,5,6,7,8题
问题7请同学们回顾本节课的学习内容,并回答下列问题：
1. 本节课学习的概念有哪些？
2. 在解决问题时，用到了哪些数学思想？
1.知识总结：
2.学生反思：
（1）通过这节课，你学到了什么知识？
（2）在解决问题时，用到了哪些数学思想？
【设计意图】
通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力,提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力。
作业布置：教科书习题1.2（第15页）
1．如果向量
，
与任何向量都不能构成空间的一个基底，那么，间应有什么关系?
解： 
，与任何向量
不能构成空间一组基底，说明，，
一定共面．
∵任何两个向量必共面，又
是任意向量，
，必共线．
2．若
构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是( )
A． | B． |
C． | D． |
2．答案：C
解析：因为构成空间的一个基底，所以向量
，
，
不共面．
对于A，因为
，所以
，
，
三个向量共面；
对于B，因为
，所以
，
，
三个向量共面；
对于C，若，，
共面，则
，则，，共面，这与向量，，不共面矛盾，所以，，不共面，所以C正确；
对于D，因为
，所以，
，三个向量共面．故选C．
3．已知四面体
，
分别是棱
的中点，且
，用
表示向量
．
3．解析：如图，
．
4．如图，在空间平移
到
，连接对应顶点．设
，
是
的中点，
是
的中点，用基底表示向量
，
．
4．解析：
．
．
综合运用
5．如图，在长方体
中，
是
与
的交点．若
，
，求
的长．
5．解析：设
，
，
，
则
，
的长为
．
6．如图，平行六面体
的底面
是菱形，且
，
，求证：
平面
．
6．证明：∵四边形
为菱形，
．又
，设
．
又
．设
，
，
，则
，
又
，
，
，
．又
，
，
．又
，
平面
．
拓广探索
7．如图，在棱长为1的正方体
中，
分别为
，
的中点，点
在
上，且
．
(1)求证：
；
(2)求
与
所成角的余弦值．
7．(1)证明：设
，则
，
．
，
，
．
(2)解析：由(1)知
．
．
又
，
，
．
与
所成角的余弦值为
．
8．已知四面体中三组相对棱的中点间的距离都相等，求证：这个四面体相对的棱两两垂直．
8．如图，设
，
，
，
则
，
，
．
由
，得
．
展开得
，所以
．又因为
，
，
所以
．同理可证
，
．
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